Coeficientes Indeterminados (Método de Superposición)

Método de Superposición

Consideremos una ecuación diferencial lineal, no homogénea, de orden superior y con coeficientes consta,

$a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_{1}y'+ay=h(x).$

Como tenemos una combinación lineal de las derivadas de $y$ igual a $h(x)$ es lógico pensar que la solución de la ecuación diferencial tiene una forma similar de $h(x)$ . El método de superposición tiene como premisa la idea anterior, así pues, este método consiste en suponer una solución de la ecuación diferencial con una estructura similar a $h(x)$ .

Podemos notar que el método posee una gran limitación al suponer una solución con una estructura similar a $h(x)$ , por lo tanto, las ecuaciones diferenciales que podemos solucionar por este método están restringidas a la forma que pueda llegar a tomar $h(x)$ .

Restricciones del métodos

Estas son las restricciones que se presentan en el método:

Los coeficientes de la ecuación diferencial tienen que ser constantes.
Las estructura de deben ser:
- Constante
  - $h(x)=3, \hspace{0.5cm} h(x)=\pi,\hspace{0.5cm} h(x)=29.5$
- Polinomial
  - $h(x)=x+1, \hspace{0.5cm} h(x)=x^{2}+2x+1,\hspace{0.5cm} h(x)=7x^{5}+8x^{2}+9$
- Exponencial
  - $h(x)=e^{3x}, \hspace{0.5cm} h(x)=e^{2.71x},\hspace{0.5cm} h(x)=e^{\frac{x}{2}}$
- Trigonométrica
  - $h(x)=\sin(2x), \hspace{0.5cm} h(x)=\cos(\pi x),\hspace{0.5cm} h(x)=\sin(\frac{x}{4})$
    Nota: el método solo admite funciones trigonométricas $\sin$ y $\cos$

Es importante mencionar que el método también admite las diferentes combinaciones en suma y multiplicación que se pueden presentar entre las funciones mencionadas anteriormente, ejemplo:

$h(x)=e^{3x}(7x^{5}+8x^{2}+9)$

$h(x)=e^{3x}\sin(2x)$

Solución general

Recordemos que una solución general de una ecuación diferencial no homogénea corresponde a la superposición de dos soluciones, una solución homogénea $y_{h}$ y una solución particular $y_{p}$ . La solución homogénea es claramente el caso donde $h(x)=0$ y la solución particular es cuando tenemos una o varias de las funciones posibles que puede llegar a tomar $h(x)$ .

$y=y_{h}+y_{p}$

Si $h(x)=0$ se supone una solución en la forma $e^{mx}$ y si $h(x)$ toma una de las estructuras factibles mencionadas anteriormente, se supone una solución en forma general de la estructura de $h(x)$ , ejemplo:

Si tenemos que:

- Suponemos una solución en la forma $y_{p}=Ax^{2}+Bx+C$
- Suponemos una solución en la forma $y_{p}=Ax+B$
- Suponemos una solución en la forma $y_{p}=Ae^{\alpha x}$
- Suponemos una solución en la forma $y_{p}=A\sin(\alpha x)+B\cos(\alpha x)$ .

Definida la forma de la solución particular $y_{p}$ , reemplazamos la función en la ecuación diferencial y posteriormente determinamos los valores de las constantes de la solución $y_{p}$ planteada.

Veamos una tabla con algunas de las posibles soluciones particulares:

h(x) — **Tabla 1: posibles soluciones $y_{p}$ a considerar.**

**Tabla 1: posibles soluciones $y_{p}$ a considerar.**

Ejemplo resuelto

Determinar la solución particular de la ecuación diferencial $y''+4y-2y=2x^2-3x+6$

Lo primero que tenemos que hacer es determinar la solución homogénea $y_{h}$ , por lo cual, $h(x)=2x^2-3x+6=0$ :

$y''+4y'-2y=0$

Suponemos una solución exponencial $y=e^{mx}$ y reemplazamos en la ecuación diferencial

$y'=me^{mx},$

$y''=m^{2}e^{mx}.$

Así pues,

$m^{2}e^{mx}+4(me^{mx})-2e^{mx}=0,$

sacamos factor común $e^{mx}$

$e^{mx}(m^{2}+4m-2)=0\longrightarrow m^{2}+4m-2=0;$

como $a=1$ , $b=4$ y $c=-2$

$m=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Las raíces de la ecuación característica son $m_{1}=-2+\sqrt{6}$ y $m_{2}=-2-\sqrt{6}$ , dado las soluciones

$y_{1}=e^{m_{1}x}\longrightarrow y_{1}=e^{(-2+\sqrt{6})x}$

$y_{2}=e^{m_{2}x}\longrightarrow y_{1}=e^{(-2-\sqrt{6})x}$

Dado que $y_{1}$ y $y_{2}$ son L.I $y_{h}$ es una combinación lineal de $y_{1}$ y $y_{2}$ .

$\boxed{y=c_{1}e^{(-2+\sqrt{6})x}+c_{2}e^{(-2-\sqrt{6})x}}$

Ahora encontremos la solución particular $y_{p}$ :

$y''+4y-2y=2x^2-3x+6$

Dada la ecuación diferencial, podemos notar que $h(x)=2x^2-3x+6$ , así pues, consideramos una solución particular $y_{p}=Ax^{2}+Bx+C$ y encontremos su primera y segunda derivada:

$y'_{p}=2Ax+B,$

$y''_{p}=2A.$

Ahora reemplazamos en la ecuación diferencial

$2A+4(2Ax+B)-2(Ax^{2}+Bx+C)=2x^2-3x+6,$

apliquemos propiedad distributiva y agrupemos términos semejantes del lado derecho

$-2Ax^{2}+(8A-2B)x+(2A+4B-2C)=2x^2-3x+6$

Para que la igualdad se cumpla, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

$8A-2B=-3$

$2A+4B-2C=6$

Resolviendo el sistema tendremos $A=-1$ , $B=\frac{-5}{2}$ y $C=-9$ , entonces

$y_{p}=-x^{2}-\frac{5}{2}x-9.$

La solución general a la ecuación diferencial sera entonces $y=y_{h}+y_{p}$

$y=c_{1}e^{(-2+\sqrt{6})x}+c_{2}e^{(-2-\sqrt{6})x}-\left(x^{2}+\frac{5}{2}x+9\right)$

Texto escrito en el vídeo

$h(x)$	$y_{p}$
$3.14$	$A$
$9x+2$	$Ax+B$
$x^{2}+8x+1$	$Ax^2+Bx+C$
$x^{3}$	$Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D$
$\sin(7x)$	$A\sin(7x)+Bcos(7x)$
$\cos(3x)$	$A\sin(3x)+Bcos(3x)$
$e^{2x}$	$Ae^{2x}$
$xe^{7x}$	$(Ax+b)e^{7x}$
$(x^{2}+x+1)e^{7x}$	$(Ax^2+Bx+C)e^{7x}$
$e^{2x}\cos(3x)$	$Ae^{2x}\sin(3x)+Be^{2x}\cos(3x)$
$4e^{9x}\sin(5x)$	$Ae^{9x}\sin(5x)+Be^{9x}\cos(5x)$
$3xe^{2x}\sin(3x)$	$(Ax+B)e^{2x}\sin(3x)+(Cx+D)e^{2x}\cos(3x)$